微积分现在已经学了这么多种积分了，先总结一下
二重积分
比较简单，确定好区域就ok。 考点:注意一种交换积分顺序的证明题，或者单纯的计算题 几何意义:直接理解都没问题，把坐标面横放，然后被积函数和微元的乘积就是一个小柱的体积，积分就是以被积函数为顶的几何体体积。 计算方法:平面坐标x，y直接解，或者使用极坐标简化运算(别忘了乘r)。 较冷门:二重积分的换元(乘雅可比行列式) 技巧: 1、注意奇偶性，可大量简化运算 2、轮换对称性
三重积分
稍难一点，但也不是很难。 考点:一般都是计算(也可能是我见题少....) 几何意义:一个空间几何体的一个体积微元和被积函数的乘积积分就是一个体积微元的质量(假如把被积函数当密度函数)，结果就是密度函数为f的几何体的质量。(说的可能不太清楚，自己体会一下) 计算方法: 1、直接计算有两种 (1)先一后二.先把几何体投影到某个平面然后变成二重积分计算。比如先对z积分，就是先把几何体往xoy平面投影，然后对平面内的区域进行二重积分。 (2)先二后一.这个很好用，说到底其实是定积分，当沿某个坐标轴(比如z)，该几何体的每个截面(用z=某个值来截)都可以用该轴所代表的变量(z)表示的时候，就直接把截面用变量的方程表示(截面用z表示),然后乘微元dz，积分就得到了结果。 2、柱坐标.这个就直接把x，y当r和θ来用就可以了，z还是z，不作过多说明 3、球坐标.这个是由θ，φ，r组成的，一般情况是先对r，再对φ，最后对θ积分。不多介绍。 较冷门:三元的换元，同二元。 技巧: 1、轮换对称性！轮换对称性！轮换对称性！重要的事说三遍！！！这个太重要了，用得好的话简化的不止一点.... 2、奇偶性 3、形心的意义.这个可能有点冷门说实话很好用，简化运算很有用。用于计算∫∫∫zdv之类的被积函数只含一个函数元的。
第一类曲线积分
说实话，到了什么曲线积分啊，曲面积分啊的我就都忘了...... 考点:不太清除，但是似乎不难.....我碰到的几乎都是计算 几何意义:将被积函数看作曲线的密度函数，那么第一类曲线积分就代表某一条曲线 (即L上)的质量。 计算法:直接带入就好了嘛，记得要乘上一个弧微分√x'(t) ²+y'(t)²。如果将x看成中间变量的话那y'就是x的导数，x的导为1 技巧:没有技巧就是算区别与第二类曲线积分(第一类是dL，第二类是dx，dy)
第一类曲面积分
又一个蒙蔽的概念 考点:算！ 几何意义:将被积函数看作曲面的密度函数，那么第一类曲面积分就代表某个曲面(S)的质量。 计算法:其实还是投影，比如往xoy投影，则面积微元变为√1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²dxdy，注意变完后z必须用x，y来代替！ 技巧:这个真的就是算了.....当然变成二重积分后还是可以用前面的二重积分的技巧的
第二类曲线积分
这个东西吧，我看了个几遍感觉差不多了..... 下面从书上的内容来记录下 首先本来积分是∫fds,其中f和s是向量，ds=τds,即方向弧线的微元等于弧微分乘单位方向向量，然后单位方向向量等于[x'(t)i+y(t)j+z(t)k]/√x'(t) ²+y'(t)²+z'(t)²,而ds还是和前面的第一类曲线积分一样为√x'(t) ²+y'(t)²+z'(t)²。那么乘积就等于x'(t)i+y(t)j+z(t)k，也就是dxi+dyj+dzk=(dx,dy,dz),而f又可以分解为i，j，k三个方向，计各个方向的值为P，Q，R。那么我们就得到了结果∫fds=∫Pdx+Qdy+rdz 到这里第二类曲线积分的计算就被我们推了一遍了。 考点:就是计算了.... 几何意义:设f为一个变力，s为物体运动的轨迹(具有方向)，那么积分的值就是f所做的功。 计算方法:将x，y，z换成t的代数式，然后代进去，积分上下限取t的起始值，然后算定积分就ok了。 技巧:没有技巧.....
第二类曲面积分
这个理解起来就难得多了，∫∫F•n0ds,然后这里n0又可以写由i,j,k表示，那么先把F分解为各个方向，即F=Pi+Qj+Rk 则∫∫F•n0ds可以表示为∫∫Pi•n0ds+∫∫Qj•n0ds+∫∫Rk•n0ds,而n0=(-zxi-zyj+k)/√1+z²x+z²y乘上ds后分母约掉，剩下分子，也就是法向量的表达式.这就得到一种算第二类曲面积分的方法合一投影法，也就是∫∫(P,Q,R)•(-zx,-zy,1)dxdy (注:平面指向前面，上面，右面时常数取1，否则取-1(即法向量取反)) 另一种方法是将ds和n0合并了，因为n0可以写为(cosα,cosβ,cosγ),分别乘上ds后就是(dydz,dzdx,dxdy),然后同意取个方向，换个变量就ok，这个就是分面投影法。 考点:多种计算方法呗 几何意义:设流体速度为v，穿过的平面为S，那么流量就为这个积分的值。 计算方法: 合一投影法:∫∫F•n0ds=∫∫(P,Q,R)•(-zx,-zy,1)dxdy (注:平面指向前面，上面，右面时常数取1，否则取-1(即法向量取反)) 分面投影法:∫∫F•n0ds=∫∫P(x(y,z),y,z)dydz+∫∫Q(x,y(x,z),z)dzdx+.... 技巧:dxdy，dydz，dxdz都有的用合一，只有一个的用分面.
格林公式
用于计算某些特殊图形的面积，或者是计算形式上麻烦的第二类曲线积分。 考点:补成封闭图形，复连通区域偏导相等来改变图形，等等一些操作..... 注意:某些地方有的点偏导是不存在的！这时候图形是复连通区域！！！！(正负还是外部逆时针内部顺时针)
高斯公式
用于计算复杂的第二类曲面积分，将被积函数转化为简单的算式，或者转化为易于使用柱坐标球坐标计算的算式。 考点:一定要是封闭曲面，一定要注意！！！不是封闭曲面可以考虑补成封闭曲面。顺便提醒，转化为三重积分之后不要拿曲面积分的算式代换被积函数，因为这两个方程是完全不同的，一个表示曲面，一个表示空间几何体，所以代换一般会出错。(大概只有我做过这种蠢事吧...... 注意:同样注意偏导数不存在的区域。其次，注意一定要封闭曲面。最后，计算。差点忘了，外部为正，内部为负。
斯托克斯公式
其实就是三维坐标系下的格林公式，用于把第二类曲线积分转化为第二类曲面积分。 考点:记一下公式，然后使用方法同格林公式，看见三维坐标系下第二类曲线积分，拿斯托克斯公式去试试就知道行不行了。
积分与路径无关
随意的提一下了。 几个等价条件。 前提：D为平面单连通区域，P，Q有一阶连续偏导。 1、D内任意一段光滑闭曲线L有∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=0，即任意一段闭曲线的曲线积分为0 2、∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy的值与路径无关。这个很重要，有这个条件就可以把奇奇怪怪的积分往平行坐标轴的方向转化了。 3、被积表达式∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy在D内是某个二元函数u(x,y)的全微分。 即du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy 这个一般用来解全微分方程，先验证∂Q/∂x=∂P/∂y然后取积分∫(0,0)(x,y)P(x,y)dx+Q(x,y)dy,然后往x，y轴转化即可解除全微分。 4、在D内每一点都满足∂Q/∂x=∂P/∂y。这个一般是作为起始条件让你转化出新条件的。 好了就这么多了。大部分的理解还是自己练习加思考，这里的总结只是在学习完后用于反思。